Задание 2: Найти сумму всех четных чисел от 1 до N.

Решение:

• Четные числа от 1 до N образуют арифметическую прогрессию: 2, 4, 6, ..., K, где K — наибольшее четное число, не превышающее N.
• Первый член прогрессии \[ a_1 = 2 \].
• Последний член прогрессии \[ a_n \] — наибольшее четное число, не превышающее N. Его можно найти как \[ 2 \cdot \lfloor \frac{N}{2} \rfloor \].
• Количество членов прогрессии \[ n \] равно \[ \lfloor \frac{N}{2} \rfloor \].
• Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
• \[ S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} \]
• Подставляем значения:
• \[ S_n = \frac{(2 + 2 \cdot \lfloor \frac{N}{2} \rfloor) \cdot \lfloor \frac{N}{2} \rfloor}{2} \]
• \[ S_n = (1 + \lfloor \frac{N}{2} \rfloor) \cdot \lfloor \frac{N}{2} \rfloor \]
• Упрощая, можно заметить, что сумма первых k четных чисел равна \[ k(k+1) \]. В нашем случае \[ k = \lfloor \frac{N}{2} \rfloor \].

Финальный ответ:

Сумма четных чисел от 1 до N равна \[ \lfloor \frac{N}{2} \rfloor \cdot (\lfloor \frac{N}{2} \rfloor + 1) \].