Задание 2. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 34, а сторона BC в 2 раза меньше стороны AB.

Обозначим \(AB=c\), \(AC=b\), \(AK=x\). По теореме о секущих, проведённых из точки A: \(AK\cdot AB=AP\cdot AC\), то есть \(xc=34b\), откуда \(x=34b/c\).

Поскольку \(BC=c/2\), по теореме косинусов для угла A:

\(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-(c/2)^2}{2bc}=\dfrac{b^2+3c^2/4}{2bc}\).

Применим теорему косинусов в треугольнике AKP:

\(KP^2=x^2+34^2-2\cdot x\cdot34\cos A\).

Подставляя \(x=34b/c\) и выражение для \(\cos A\), получаем:

\(KP^2=\dfrac{1156b^2}{c^2}+1156-\dfrac{1156(b^2+3c^2/4)}{c^2}=289\).

Значит, \(KP=\sqrt{289}=17\).

Ответ: 17.