Задание 4. В треугольнике со сторонами 9, 10, 17 найдите: а) площадь; б) радиусы вписанной и описанной окружностей; в) высоту, проведённую к стороне 17; г) больший угол треугольника; д) биссектрису, проведённую к стороне 10; е) медиану, проведённую к стороне 9.

Полупериметр: \(p=(9+10+17)/2=18\).

а) Площадь. По формуле Герона:

\(S=\sqrt{18(18-9)(18-10)(18-17)}=\sqrt{18\cdot9\cdot8\cdot1}=36\).

б) Радиусы окружностей. Радиус вписанной окружности: \(r=S/p=36/18=2\). Радиус описанной окружности: \(R=abc/(4S)=9\cdot10\cdot17/(4\cdot36)=85/8\).

в) Высота к стороне 17. Из формулы площади \(S=\frac12\cdot17\cdot h\): \(h=2S/17=72/17\).

г) Больший угол. Он лежит напротив наибольшей стороны, равной 17. По теореме косинусов:

\(\cos C=(9^2+10^2-17^2)/(2\cdot9\cdot10)=-3/5\), поэтому \(C=\arccos(-3/5)\approx126.87°\).

д) Биссектриса к стороне 10. Она проведена из вершины, между сторонами 9 и 17. По формуле длины биссектрисы:

\(l=\dfrac{\sqrt{9\cdot17\big((9+17)^2-10^2\big)}}{9+17}=\dfrac{36\sqrt{17}}{13}\).

е) Медиана к стороне 9. По формуле медианы к стороне \(a\): \(m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\). Следовательно, \(m=\frac12\sqrt{2\cdot10^2+2\cdot17^2-9^2}=\sqrt{597}/2\).

Ответ: а) 36; б) \(r=2\), \(R=85/8\); в) \(72/17\); г) \(\arccos(-3/5)\approx126.87°\); д) \(36\sqrt{17}/13\); е) \(\sqrt{597}/2\).