Задание 2. В параллелограмме ABCD провели биссектрисы углов A и B, которые пересеклись в точке H. В треугольнике AHB провели медиану HE. Докажите, что прямые HE и AD параллельны.

Так как HE — медиана треугольника AHB, точка E является серединой отрезка AB. Значит, \(AE=EB\).

Обозначим длины сторон параллелограмма: \(AB=a\), \(AD=b\). Единичные векторы вдоль сторон \(AB\) и \(AD\) обозначим через \(\vec p\) и \(\vec q\).

Направление биссектрисы угла A задаётся вектором \(\vec p+\vec q\), а направление биссектрисы угла B — вектором \(-\vec p+\vec q\). Поэтому точка пересечения биссектрис имеет вид

\[H=\frac a2(\vec p+\vec q)=\frac a2\vec p+\frac a2\vec q.\]

Поскольку E — середина AB, имеем \(E=\frac a2\vec p\). Следовательно,

\[\overrightarrow{EH}=H-E=\frac a2\vec q.\]

Вектор \(\vec q\) направлен вдоль стороны AD, значит, \(EH\parallel AD\).

Что и требовалось доказать.