Задание 3. В равнобедренном треугольнике ABC на основании AC выбрали точку E и провели через неё прямые, параллельные боковым сторонам. Пусть данные прямые пересекают стороны AB и BC в точках K и L соответственно. Докажите, что периметр четырёхугольника EKBL равен 2AB.

Пусть \(AB=BC\), так как треугольник ABC равнобедренный.

Поскольку \(EK\parallel BC\), треугольники \(AEK\) и \(ACB\) подобны. Поэтому

\[\frac{EK}{BC}=\frac{AE}{AC},\qquad EK=\frac{AE}{AC}\,BC.\]

Кроме того,

\[AK=\frac{AE}{AC}\,AB,\]

следовательно,

\[KB=AB-AK=AB-\frac{AE}{AC}AB=\frac{CE}{AC}AB.\]

Аналогично, поскольку \(EL\parallel AB\),

\[EL=\frac{CE}{AC}AB,\qquad BL=\frac{AE}{AC}BC.\]

Тогда периметр четырёхугольника EKBL равен

\[P=EK+KB+BL+LE.\]

Подставим найденные выражения и учтём, что \(AB=BC\):

\[P=\frac{AE}{AC}BC+\frac{CE}{AC}AB+\frac{AE}{AC}BC+\frac{CE}{AC}AB,\]

\[P=2\frac{AE+CE}{AC}AB=2\frac{AC}{AC}AB=2AB.\]

Ответ: \(P_{EKBL}=2AB\).