Задание 22. Постройте график функции \(y=\frac{7x-6}{7x^2-6x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения исходной функции: \(x\ne 0\) и \(x\ne\frac{6}{7}\). Сократим дробь, учитывая эти ограничения:

\(y=\frac{7x-6}{x(7x-6)}=\frac{1}{x}\), где \(x\ne 0,\frac{6}{7}\).

Следовательно, график — гипербола \(y=\frac{1}{x}\) с выколотой точкой \(\left(\frac{6}{7},\frac{7}{6}\right)\).

Точки пересечения с прямой \(y=kx\) должны удовлетворять уравнению \(\frac{1}{x}=kx\), то есть \(kx^2=1\), при этом \(x\ne0,\frac{6}{7}\).

Если \(k<0\) или \(k=0\), решений нет. Если \(k>0\), уравнение даёт две точки \(x=\pm\frac{1}{\sqrt{k}}\), кроме случая, когда положительная точка совпадает с выколотой: \(\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{6}{7}\). Отсюда \(k=\frac{49}{36}\); тогда остаётся ровно одна точка пересечения.

Ответ: \(k=\frac{49}{36}\).