Задание 3 (30 баллов). В алюминиевый стакан наливают кипяток так, что стакан становится полным. Стакан имеет цилиндрическую форму, его высота 14 см, радиус основания 3 см, толщина стенок 4 мм. Вычислите, какая установится температура стакана, если изначально его температура была 20 °С. Теплоёмкость алюминия $$c_a = 920 \frac{Дж}{кг \cdot °С}$$, воды $$c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °С}$$. Плотность алюминия $$\rho_a = 2700 \frac{кг}{м^3}$$, воды $$\rho_в = 1000 \frac{кг}{м^3}$$. Потерями теплоты пренебречь.

Сначала найдем объемы стакана и воды.
Радиус стакана: $$r = 3 см = 0.03 м$$, высота $$h = 14 см = 0.14 м$$.
Толщина стенок: $$\Delta r = 4 мм = 0.004 м$$
Объем стакана без учета толщины стенок: $$V_{стакан} = \pi r^2 h = 3.14 \cdot (0.03)^2 \cdot 0.14 = 3.9564 \cdot 10^{-4} м^3$$
Внутренний радиус стакана: $$r_{вн} = r - \Delta r = 0.03 - 0.004 = 0.026 м$$
Внутренний объем стакана, то есть объем воды: $$V_{воды} = \pi r_{вн}^2 h = 3.14 \cdot (0.026)^2 \cdot 0.14 = 2.9626 \cdot 10^{-4} м^3$$
Объем алюминия: $$V_{алюминия} = V_{стакан} - V_{воды} = 3.9564 \cdot 10^{-4} - 2.9626 \cdot 10^{-4} = 9.938 \cdot 10^{-5} м^3$$
Масса алюминия: $$m_a = \rho_a \cdot V_a = 2700 \cdot 9.938 \cdot 10^{-5} = 0.268326 кг$$
Масса воды: $$m_в = \rho_в \cdot V_в = 1000 \cdot 2.9626 \cdot 10^{-4} = 0.29626 кг$$
Пусть $$t$$ - итоговая температура. Запишем уравнение теплового баланса. Температура воды равна 100°С так как это кипяток, начальная температура стакана 20°С
$$m_a \cdot c_a \cdot (t - 20) = m_в \cdot c_в \cdot (100 - t)$$
$$0.268326 \cdot 920 \cdot (t - 20) = 0.29626 \cdot 4200 \cdot (100 - t)$$
$$246.86t - 4937.2 = 124427.2 - 1244.29t$$
$$1491.15t = 129364.4$$
$$t = 86.75°C$$.
Ответ: Итоговая температура стакана и воды будет 86.75°C.