Задание 3. Избавиться от иррациональности в знаменателе: 3∛3/(√2 + ∛3 + √5)

Обозначим \(a=\sqrt[3]{3}\), \(b=\sqrt2+\sqrt5\). Тогда знаменатель равен \(a+b\).

Домножим числитель и знаменатель сначала на \(a^2-ab+b^2\), поскольку \((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\):

\[\frac{3a}{a+b}=\frac{3a(a^2-ab+b^2)}{a^3+b^3}.\]

Здесь \(a^3=3\), а \(b^3=(\sqrt2+\sqrt5)^3=11\sqrt2+13\sqrt5\). Получаем знаменатель \(14+11\sqrt2+13\sqrt5\).

Положим \(c=14\), \(d=11\sqrt2+13\sqrt5\). Рационализуем \(c+d\), домножив на \(c^2-cd+d^2\): знаменатель станет \(c^3+d^3\). Вычисления дают \(d^2=847+286\sqrt{10}\) и \(d^3=17545\sqrt2+24739\sqrt5\). Следовательно, \(c^3+d^3=20289+17545\sqrt2+24739\sqrt5\).

Итог:

\[\frac{3\sqrt[3]{3}\,(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{3}(\sqrt2+\sqrt5)+(\sqrt2+\sqrt5)^2)\,(14^2-14(11\sqrt2+13\sqrt5)+(11\sqrt2+13\sqrt5)^2)}{20289+17545\sqrt2+24739\sqrt5}.\]

В знаменателе нет радикалов.