Задание 3. На доске записаны все натуральные числа от 17 до 832 включительно, которые при делении на 7 дают остаток 3. Каждую минуту Тарас стирает два числа из этого ряда и вместо них записывает их сумму, уменьшенную на 3. Через некоторое время на доске останется одно число. Какое число может оказаться записанным на доске? Укажите все подходящие варианты.

При каждой операции сумма чисел на доске уменьшается на 3. Чтобы из 117 чисел получить одно, выполняется 116 операций.

Подходящие числа образуют последовательность \(17,24,\ldots,829\), поскольку 829 — наибольшее число не больше 832 с остатком 3 при делении на 7. Их количество:

\(\frac{829-17}{7}+1=117\).

Их сумма равна \(\frac{117(17+829)}{2}=55341\). Поэтому итоговое число равно \(55341-3\cdot116=54993\).

Ответ: 54993.