Задание 3. Решить неравенства: 1) 3^(x+2) + 3^(x−1) < 28; 2) 2^(x−1) + 2^(x+3) > 17; 3) 2^(2x−1) + 2^(2x−2) + 2^(2x−3) ≥ 448; 4) 9^x − 7·3^x − 18 < 0; 5) 4^x + 2^(x+1) − 80 < 0; 6) 5^(3x+1) − 5^(3x−3) ≤ 624.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Вынесем \(3^{x-1}\): \(3^{x+2}+3^{x-1}=28\cdot3^{x-1}\). Тогда \(28\cdot3^{x-1}<28\), откуда \(3^{x-1}<1\) и \(x<1\).
Вынесем \(2^{x-1}\): сумма равна \(17\cdot2^{x-1}\). Поэтому \(17\cdot2^{x-1}>17\), откуда \(x>1\).
Вынесем \(2^{2x-3}\): \(2^{2x-3}(4+2+1)\ge448\). Значит, \(2^{2x-3}\ge64=2^6\), откуда \(2x-3\ge6\), то есть \(x\ge9/2\).
Положим \(t=3^x>0\). Тогда \(t^2-7t-18<0\), или \((t-9)(t+2)<0\). С учётом \(t>0\) получаем \(3^x<9=3^2\), следовательно, \(x<2\).
Положим \(t=2^x>0\). Тогда \(t^2+2t-80<0\), то есть \((t+10)(t-8)<0\). Поэтому \(0
Вынесем \(5^{3x-3}>0\): \(5^{3x-3}(5^4-1)\le624\). Поскольку \(5^4-1=624\), получаем \(5^{3x-3}\le1=5^0\), значит, \(x\le1\).

Ответ: 1) \(x<1\); 2) \(x>1\); 3) \(x\ge9/2\); 4) \(x<2\); 5) \(x<3\); 6) \(x\le1\).