Задание 3. Решить неравенство: а) \(\sqrt{5+\sqrt{x-1}}\ge3\); б) \(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}\le3\); в) \(\sqrt{2+\sqrt{x^2+2x+5}}\le2\).

а) Область определения: \(x\ge1\). Возводим обе неотрицательные части в квадрат: \(5+\sqrt{x-1}\ge9\), значит \(\sqrt{x-1}\ge4\). Ещё раз возводим в квадрат: \(x-1\ge16\), то есть \(x\ge17\).

б) Область определения: \(x\ge1\). Положим \(t=\sqrt{x-1}\), тогда \(t\ge0\), \(x=t^2+1\), а подкоренное выражение равно \(t^2+1+2t=(t+1)^2\). Следовательно, \(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=t+1\). Условие \(t+1\le3\) даёт \(t\le2\), то есть \(x\le5\). С учётом области определения получаем \(1\le x\le5\).

в) Область определения — все действительные числа. Оба выражения неотрицательны, поэтому возводим неравенство в квадрат: \(2+\sqrt{x^2+2x+5}\le4\). Значит, \(\sqrt{x^2+2x+5}\le2\), и после возведения в квадрат \((x+1)^2+4\le4\). Это возможно только при \(x=-1\); при этом исходное неравенство выполняется.

Ответ: а) \(x\in[17;+\infty)\); б) \(x\in[1;5]\); в) \(x=-1\).