Задание № 3. Точка M делит диагональ AC параллелограмма ABCD в отношении AM : MC = 1 : 5. Обозначим вектор AB = a и вектор AD = b. Разложите вектор AM по векторам a и b.

В параллелограмме диагональ выражается через две стороны, выходящие из одной вершины: \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec a+\vec b\).

Из отношения \(AM:MC=1:5\) следует, что весь отрезок AC состоит из 6 равных частей, а AM — одна из них. Поэтому \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}\).

Подставим выражение для диагонали: \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{6}(\vec a+\vec b)=\frac{1}{6}\vec a+\frac{1}{6}\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{6}\vec a+\frac{1}{6}\vec b\).