Задание 3. Точки A, B, C и O (Рис. 3) не лежат в одной плоскости. MK ∥ AB, MT ∥ AC, причём OT : CT = 2 : 7. Известно, что площадь треугольника ABC равна 162. Найти площадь треугольника MKT.

Из OT : CT = 2 : 7 следует OT : OC = 2 : 9.

Так как MT ∥ AC, треугольники OMT и OAC подобны. Поэтому OM : OA = OT : OC = 2 : 9.

Из MK ∥ AB следует, что треугольники OMK и OAB подобны, и OK : OB = OM : OA = 2 : 9. Значит, точки M, K и T получаются из A, B и C гомотетией с центром O и коэффициентом 2/9.

Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия:

Площадь MKT = 162 · (2/9)² = 162 · 4/81 = 8.

Ответ: 8.