Задание 4. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб (Рис. 4). Докажите параллельность плоскостей AB₁C и A₁C₁D.

Обозначим длину ребра куба через a и зададим вершины координатами: A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0), A₁(0, 0, a), B₁(a, 0, a), C₁(a, a, a).

В плоскости AB₁C возьмём два направляющих вектора: AB₁ = (a, 0, a) и AC = (a, a, 0). Их векторное произведение равно a²(−1, 1, 1), то есть нормаль плоскости пропорциональна (−1, 1, 1).

Для плоскости A₁C₁D направляющие векторы можно взять A₁C₁ = (a, a, 0) и A₁D = (0, a, −a). Их векторное произведение также пропорционально (−1, 1, 1).

Следовательно, плоскости имеют параллельные нормали. Они различны: точка A(0, 0, 0) не принадлежит плоскости A₁C₁D. Значит, плоскости AB₁C и A₁C₁D параллельны.