Задание № 3. В конус с высотой 12 см вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Найдите отношение площадей полных поверхностей пирамиды и конуса.

Основание вписанной пирамиды — прямоугольник, вписанный в основание конуса. Радиус основания конуса равен половине диагонали прямоугольника: \(R=\frac{\sqrt{6^2+8^2}}{2}=5\) см. Высота пирамиды равна высоте конуса.

Образующая конуса: \(l=\sqrt{12^2+5^2}=13\) см. Его полная площадь поверхности равна \(S_{к}=\pi R^2+\pi Rl=25\pi+65\pi=90\pi\) см².

Для двух боковых граней с основанием 8 см высота равна расстоянию от вершины пирамиды до стороны прямоугольника: \(\sqrt{12^2+3^2}=3\sqrt{17}\) см. Их суммарная площадь равна \(2\cdot\frac12\cdot8\cdot3\sqrt{17}=24\sqrt{17}\) см².

Для двух граней с основанием 6 см высота равна \(\sqrt{12^2+4^2}=4\sqrt{10}\) см. Их суммарная площадь равна \(2\cdot\frac12\cdot6\cdot4\sqrt{10}=24\sqrt{10}\) см². Площадь основания пирамиды равна \(6\cdot8=48\) см².

Следовательно, \(S_{п}=48+24\sqrt{17}+24\sqrt{10}\) см².

Ответ: \(S_{п}:S_{к}=\frac{48+24\sqrt{17}+24\sqrt{10}}{90\pi}=\frac{4+2\sqrt{17}+2\sqrt{10}}{15\pi}\).