Задание № 4. Найдите площадь полной поверхности описанного около сферы радиуса R многогранника, если этот многогранник: 1. правильная шестиугольная призма; 2. правильный тетраэдр.

1. Правильная шестиугольная призма.

Сфера касается оснований призмы, поэтому её высота равна диаметру: \(h=2R\). Радиус вписанной в основание окружности равен \(R\). Для правильного шестиугольника его сторона \(a=2R\tan 30^\circ=\frac{2R}{\sqrt{3}}\), а периметр \(P=6a=4\sqrt{3}R\).

Площадь одного основания: \(S_{осн}=\frac{PR}{2}=2\sqrt{3}R^2\). Боковая поверхность: \(S_{бок}=Ph=8\sqrt{3}R^2\). Тогда полная площадь равна \(S_1=2S_{осн}+S_{бок}=12\sqrt{3}R^2\).

2. Правильный тетраэдр.

Для правильного тетраэдра с ребром \(a\) радиус вписанной сферы равен \(r=\frac{a\sqrt{6}}{12}\). Поскольку \(r=R\), получаем \(a=2\sqrt{6}R\).

Полная площадь поверхности тетраэдра — сумма площадей четырёх равносторонних треугольников: \(S_2=4\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}=24\sqrt{3}R^2\).

Ответ: 1) \(12\sqrt{3}R^2\); 2) \(24\sqrt{3}R^2\).