Задание №3. В трапеции MNKL с основаниями NK и ML провели диагональ MK так, что она образует с боковой стороной KL угол в 90° и является биссектрисой угла M. Известно, что угол L = 60°. а) Докажите, что трапеция MNKL равнобедренная. б) Найдите величину угла MNK.

Так как NK ∥ ML, внутренние односторонние углы при боковой стороне KL supplementary: ∠K + ∠L = 180°. Поэтому ∠K = 120°.

MK ⟂ KL, следовательно, в треугольнике MKL угол MKL равен 90°. Тогда ∠KML = 180° − 90° − 60° = 30°. Поскольку MK — биссектриса угла M, ∠NMK также равен 30°.

Из NK ∥ ML следует, что ∠MKN = ∠KML = 30°. Значит, в треугольнике MNK углы при M и K равны, поэтому MN = NK. Кроме того, в прямоугольном треугольнике MKL с углами 30°, 60° и 90° сторона KL равна MK/√3. В треугольнике MNK углы при M и K равны 30°, поэтому MN = MK/√3. Следовательно, MN = KL, и трапеция равнобедренная.

В треугольнике MNK: ∠MNK = 180° − 30° − 30° = 120°.

Ответ: а) MN = KL; б) ∠MNK = 120°.