ЗАДАНИЕ №3 Расстояние между пристанями А и В равно 99 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 4 часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 28 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Дано:

• Расстояние между А и В: S = 99 км
• Скорость течения: V_течения = 2 км/ч
• Плот отправился из А в В.
• Моторная лодка отправилась из А в В через 4 часа после плота.
• Лодка, прибыв в В, сразу повернула обратно в А.
• К моменту возвращения лодки в А, плот проплыл 28 км.

Найти: Скорость лодки в неподвижной воде (V_лодки)

Решение:

1. Скорость плота: Скорость плота равна скорости течения, так как плот движется по течению.
• V_плота = V_течения = 2 км/ч
2. Время движения плота до момента, когда лодка отправилась:
• t_плота_до_лодки = 4 часа
3. Расстояние, пройденное плотом за эти 4 часа:
• S_плота_до_лодки = V_плота * t_плота_до_лодки = 2 км/ч * 4 часа = 8 км
4. Оставшееся расстояние для плота до В:
• S_плота_остаток = S - S_плота_до_лодки = 99 км - 8 км = 91 км
5. Время, за которое плот проплыл оставшееся расстояние (91 км):
• t_плота_остаток = S_плота_остаток / V_плота = 91 км / 2 км/ч = 45.5 часа
6. Общее время движения плота до прибытия лодки в А:
• t_плота_общее = t_плота_до_лодки + t_плота_остаток = 4 часа + 45.5 часа = 49.5 часа
7. Важное условие: К моменту возвращения лодки в А, плот проплыл 28 км. Это означает, что плот не доплыл до В, а повернул или остановился. В задаче сказано, что плот отправился из А в В. В условии есть противоречие. Предположим, что имелось в виду, что плот к моменту возвращения лодки в А проплыл 28 км от пункта А.
8. Переформулируем: Лодка вернулась в А. К этому моменту плот проплыл 28 км от А.
9. Время, за которое плот проплыл 28 км:
• t_плота_28км = 28 км / 2 км/ч = 14 часов
10. Время движения лодки: Лодка отправилась на 4 часа позже плота, и вернулась в А. Значит, время движения лодки равно времени движения плота до 28 км минус 4 часа.
• t_лодки = t_плота_28км - 4 часа = 14 часов - 4 часа = 10 часов
11. Путь лодки: Лодка сначала плыла из А в В (99 км), а затем вернулась в А. Общее расстояние, пройденное лодкой, равно 2 * S = 2 * 99 км = 198 км.
12. Скорость лодки (туда и обратно):
• t_лодки = t_туда + t_обратно = 10 часов
• V_лодки_туда = V_лодки + V_течения = V_лодки + 2
• V_лодки_обратно = V_лодки - V_течения = V_лодки - 2
• t_туда = 99 / (V_лодки + 2)
• t_обратно = 99 / (V_лодки - 2)
13. Составим уравнение:
• 99 / (V_лодки + 2) + 99 / (V_лодки - 2) = 10
14. Решим уравнение:
• Умножим обе части на (V_лодки + 2)(V_лодки - 2):
• 99 * (V_лодки - 2) + 99 * (V_лодки + 2) = 10 * (V_лодки^2 - 4)
• 99 * V_лодки - 198 + 99 * V_лодки + 198 = 10 * V_лодки^2 - 40
• 198 * V_лодки = 10 * V_лодки^2 - 40
• 10 * V_лодки^2 - 198 * V_лодки - 40 = 0
• Разделим на 2: 5 * V_лодки^2 - 99 * V_лодки - 20 = 0
• Решим квадратное уравнение через дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-99)^2 - 4 * 5 * (-20) = 9801 + 400 = 10201
• √D = √10201 = 101
• V_лодки = (-b ± √D) / 2a
• V_лодки = (99 ± 101) / (2 * 5)
• V_лодки1 = (99 + 101) / 10 = 200 / 10 = 20
• V_лодки2 = (99 - 101) / 10 = -2 / 10 = -0.2 (Не подходит, т.к. скорость не может быть отрицательной)

Проверка:

• Скорость лодки по течению: 20 + 2 = 22 км/ч
• Время лодки до В: 99 / 22 = 4.5 часа
• Скорость лодки против течения: 20 - 2 = 18 км/ч
• Время лодки обратно в А: 99 / 18 = 5.5 часов
• Общее время движения лодки: 4.5 + 5.5 = 10 часов (Совпадает с рассчитанным временем)
• Время плота к этому моменту: 10 часов (время лодки) + 4 часа (задержка) = 14 часов.
• Расстояние, пройденное плотом за 14 часов: 14 часов * 2 км/ч = 28 км. (Совпадает с условием)

Ответ: 20 км/ч