Задание 4. 1. Сколько существует способов выбрать капитана и его заместителя из 10 игроков команды?

Привет! Давай разберем эту задачку по комбинаторике.

У нас есть 10 игроков, и нам нужно выбрать из них двух: капитана и его заместителя. Важно, что порядок выбора имеет значение (выбрать игрока А капитаном, а игрока Б заместителем — это не то же самое, что наоборот).

Для выбора капитана у нас есть 10 вариантов.

После того, как мы выбрали капитана, у нас остается 9 игроков. Из них мы выбираем заместителя.

Чтобы найти общее количество способов, мы умножаем количество вариантов для каждого выбора:

• Количество способов = (Варианты выбора капитана) $$\times$$ (Варианты выбора заместителя)
• Количество способов = $$10 \times 9 = 90$$

Другими словами, это число размещений без повторений, которое считается по формуле:

\[ P_{n}^{k} = \frac{n!}{(n-k)!} \]

Где:

• $$n$$ — общее количество элементов (игроков), то есть 10.
• $$k$$ — количество выбираемых элементов (капитан и заместитель), то есть 2.

Подставляем значения:

\[ P_{10}^{2} = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 9 = 90 \]

Ответ: 90 способов.