Задание 4. Докажите, что если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пусть в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно равны: AB = CD и BC = AD. Проведём диагональ AC.

1. В треугольниках ABC и CDA: AB = CD, BC = DA, а AC — общая сторона.
2. Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по трём сторонам.
3. Из равенства треугольников получаем равенство соответствующих углов: ∠BAC = ∠DCA и ∠BCA = ∠DAC.
4. Это накрест лежащие углы при прямых AB и CD, а также BC и AD с секущей AC. Значит, AB ∥ CD и BC ∥ AD.

Таким образом, обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.