Задание 4. Постройте график функции y = 4/x, если x ≤ −1 или x ≥ 4; y = x² − 5, если −1 < x < 4. Найдите все значения параметра m, при которых прямая y = m имеет с графиком наибольшее возможное число общих точек.

График состоит из параболической дуги y = x² − 5 при −1 < x < 4 и двух частей гиперболы y = 4/x при x ≤ −1 или x ≥ 4. В точке x = −1 значение равно −4, а в точке x = 4 — 1; обе эти точки принадлежат графику.

Для горизонтальной прямой y = m считаем пересечения частей графика. При −5 < m < 0 параболическая дуга даёт два пересечения, кроме m = −4: и при m = −4 одно пересечение дуги x = 1 вместе с точкой гиперболы x = −1, так что всего также два. При 0 < m ≤ 1 одно пересечение даёт дуга и ещё одно — правая часть гиперболы. В обоих указанных промежутках достигается максимум в две общие точки. В остальных случаях пересечений не больше одного.

Ответ: m ∈ (−5; 0) ∪ (0; 1]. Наибольшее число общих точек — 2.