Задание 4. Решите уравнения: a) ctg x-1/2=0 б) log₃(x+1)/2 = log₃(-3x+5)/2 в) 4⁴ˣ-² = 64

Решение:

1. а) \( сtg x - \frac{1}{2} = 0 \)
   \( сtg x = \frac{1}{2} \)
   \( x = сtg^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) + π n \), где \( n \) — целое число.
2. б) \( єєг_3 \frac{x+1}{2} = єєг_3 \frac{-3x+5}{2} \)
   Уравнение равносильно системе:
   \( \begin{cases} \frac{x+1}{2} = \frac{-3x+5}{2} \ \frac{x+1}{2} > 0 \text{ (ОДЗ)} \text{ и } \frac{-3x+5}{2} > 0 \text{ (ОДЗ)} \text{ - логарифм определен)} \text{ (не обязательно, так как приравняли аргументы)} \text{ и } x+1>0 \ \text{ (приравниваем аргументы)} \frac{x+1}{2} = \frac{-3x+5}{2} \ x+1 > 0 \text{ (ОДЗ)} \text{ и } -3x+5 > 0 \text{ (ОДЗ)} \text{ (для логарифмов)} \text{ (можно и так: } \frac{-3x+5}{2} > 0 \text{)} \text{ (лучше проверить в конце)} \text{ (попробуем приравнять аргументы, а потом проверить ОДЗ)} \text{ (сначала ОДЗ)} \frac{x+1}{2} > 0 \rightarrow x+1 > 0 \rightarrow x > -1 \ \frac{-3x+5}{2} > 0 \rightarrow -3x+5 > 0 \rightarrow -3x > -5 \rightarrow x < \frac{5}{3} \ \text{Итак, ОДЗ: } -1 < x < \frac{5}{3} \ \text{Теперь приравниваем аргументы:} \ x+1 = -3x+5 \ 4x = 4 \ x = 1 \ \text{Проверяем ОДЗ: } -1 < 1 < \frac{5}{3} \ \text{Значение } x=1 \text{ удовлетворяет ОДЗ.} \ \text{Подставим в исходное уравнение: } єєг_3 \frac{1+1}{2} = єєг_3 \frac{-3(1)+5}{2} \ єєг_3 \frac{2}{2} = єєг_3 \frac{2}{2} \ єєг_3 1 = єєг_3 1 \ 0 = 0 \ \text{Ответ подходит.} \text{ (Более корректная запись ОДЗ:)} \ \text{1. Аргументы логарифмов должны быть положительными:} \ x+1 > 0 \rightarrow x > -1 \ -3x+5 > 0 \rightarrow -3x > -5 \rightarrow x < \frac{5}{3} \ \text{Область допустимых значений: } -1 < x < \frac{5}{3}. \ \text{2. Приравниваем аргументы логарифмов, так как основания равны:} \ \frac{x+1}{2} = \frac{-3x+5}{2} \ x+1 = -3x+5 \ 4x = 4 \ x = 1 \ \text{3. Проверяем, принадлежит ли найденное значение ОДЗ:} \ -1 < 1 < \frac{5}{3}. \text{ Условие выполняется.} \text{ (Всё верно.)}
3. в) \( 4^{4x-2} = 64 \)
   Представим 64 как степень 4: \( 64 = 4^3 \).
   \( 4^{4x-2} = 4^3 \)
   Так как основания равны, приравниваем показатели степени:
   \( 4x - 2 = 3 \)
   \( 4x = 5 \)
   \( x = \frac{5}{4} \)

Ответ: а) \( x = сtg^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) + π n \); б) \( x = 1 \); в) \( x = \frac{5}{4} \).