Задание 5. Решите неравенство: (2x+8)/(2x-1) < 0

Решение:

Чтобы решить дробно-рациональное неравенство \( \frac{2x+8}{2x-1} < 0 \), нужно найти корни числителя и знаменателя и построить числовую прямую.

1. Найдем корни числителя: \( 2x+8 = 0 \rightarrow 2x = -8 \rightarrow x = -4 \).
2. Найдем корень знаменателя: \( 2x-1 = 0 \rightarrow 2x = 1 \rightarrow x = \frac{1}{2} \).
3. Отметим эти точки на числовой прямой. Точка \( x = \frac{1}{2} \) — выколотая (так как на ноль делить нельзя), точка \( x = -4 \) — также выколотая (так как неравенство строгое).
4. Определим знаки выражения \( \frac{2x+8}{2x-1} \) на интервалах:
• При \( x > \frac{1}{2} \) (например, \( x=1 \)): \( \frac{2(1)+8}{2(1)-1} = \frac{10}{1} = 10 > 0 \).
• При \( -4 < x < \frac{1}{2} \) (например, \( x=0 \)): \( \frac{2(0)+8}{2(0)-1} = \frac{8}{-1} = -8 < 0 \).
• При \( x < -4 \) (например, \( x=-5 \)): \( \frac{2(-5)+8}{2(-5)-1} = \frac{-10+8}{-10-1} = \frac{-2}{-11} = \frac{2}{11} > 0 \).
5. Нам нужно, где выражение меньше нуля. Это интервал \( (-4, \frac{1}{2}) \).

Ответ: \( x ∈ (-4; \frac{1}{2}) \).