Задание 4. Точка M — середина стороны AB треугольника ABC, точка N — середина стороны BC, MN = 4 см. Докажите, что треугольники MBN и ABC не равны, а треугольники MBN и NCM равны по первому признаку.

По теореме о средней линии треугольника MN = AC/2, поэтому AC = 8 см. Кроме того, MB = AB/2 и BN = BC/2. Значит, стороны △MBN равны половинам соответствующих сторон △ABC. Поскольку треугольник невырожденный, его стороны положительной длины, поэтому эти треугольники не равны.

Однако утверждение о равенстве △MBN и △NCM по указанным данным неверно. Контрпример: пусть ABC — равносторонний треугольник со стороной 8 см. Тогда M и N — середины AB и BC, а MN = 4 см, как в условии. △MBN равносторонний со стороной 4 см; у △NCM стороны NC = 4 см, NM = 4 см, CM = 4√3 см. Следовательно, эти треугольники не равны.

Таким образом, первую часть задания можно доказать, но вторая часть не следует из условия; вероятно, в нём допущена опечатка.