Задание № 4. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 1. Постройте сечение, проходящее через середину ребра BC₁ и сторону AB. Найдите площадь этого сечения.

Обозначим через N середину BC₁. Сечение проходит через ребро AB и точку N. В грани BCC₁B₁ его след — отрезок BN, а в грани ACC₁A₁ плоскость пересекает ребро CC₁ в точке C₁. Следовательно, сечение — треугольник ABC₁.

Высота этого треугольника к основанию AB находится по теореме Пифагора: проекция C₁ на плоскость основания отстоит от AB на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), а высота призмы равна 1. Поэтому высота треугольника равна \(\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+1^2}=\frac{\sqrt{7}}{2}\).

Тогда \(S_{ABC₁}=\frac12\cdot 1\cdot\frac{\sqrt{7}}2=\frac{\sqrt{7}}4\).

Ответ: площадь сечения равна \(\frac{\sqrt{7}}{4}\).