Задание № 5. Через точку K на ребре AD тетраэдра DABC проведено сечение, параллельное грани ABC, площадь сечения равна 27, AK : KD = 1 : 3. Найдите площадь грани ABC.

Так как сечение параллельно ABC, оно подобно грани ABC с коэффициентом, равным отношению расстояний от вершины D. Из \(AK:KD=1:3\) следует \(DK:DA=3:4\), поэтому отношение площадей сечения и грани ABC равно \(\left(\frac34\right)^2=\frac9{16}\).

Пусть площадь ABC равна \(S\). Тогда \(27=\frac9{16}S\), откуда \(S=27\cdot\frac{16}{9}=48\).

Ответ: 48.