Задание № 6. В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD, все рёбра которой равны 4, точка K — середина бокового ребра AP. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC. Найдите площадь сечения.

Выберем координаты: \(A=(-2,-2,0)\), \(B=(2,-2,0)\), \(C=(2,2,0)\), \(D=(-2,2,0)\), \(P=(0,0,2\sqrt2)\). Тогда \(K=(-1,-1,\sqrt2)\). Плоскость через K, параллельная PB и BC, пересекает рёбра AD, AB, PC и PD; её сечение — четырёхугольник.

Направляющие векторы этой плоскости можно взять \((2,-2,2\sqrt2)\) и \((0,4,0)\). Их векторное произведение задаёт нормаль \((-2\sqrt2,0,2)\), поэтому уравнение плоскости через K: \(z-\sqrt2=\sqrt2(x+1)\). Пересечения с рёбрами AD, AB, PC, PD соответственно: \((-2,1,0)\), \((0,-2,0)\), \((1,1,3\sqrt2/2)\), \((-1,1,\sqrt2/2)\).

Длины сторон сечения, последовательно соединяющих эти точки, равны \(3\), \(3\sqrt2\), \(3\), \(3\sqrt2\). Это прямоугольник: соседние направления параллельны PB и BC, а они перпендикулярны. Поэтому площадь равна \(3\cdot3\sqrt2=9\sqrt2\).

Ответ: площадь сечения равна \(9\sqrt2\).