Задание 4. Вычислить \(\frac{\log_2 192}{\log_{12} 2}\) - \(\frac{\log_2 24}{\log_{96} 2}\)

Задание 4. Вычислить

\( \frac{\log_2 192}{\log_{12} 2} - \frac{\log_2 24}{\log_{96} 2} \)

Используем формулу смены основания логарифма: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \).

Тогда \( \frac{1}{\log_{12} 2} = \log_2 12 \) и \( \frac{1}{\log_{96} 2} = \log_2 96 \).

Выражение принимает вид:

\[ \log_2 192 \cdot \log_2 12 - \log_2 24 \cdot \log_2 96 \]

Разложим числа на множители:

\[ 192 = 64 x 3 = 2^6 x 3 \]

\[ 12 = 4 x 3 = 2^2 x 3 \]

\[ 24 = 8 x 3 = 2^3 x 3 \]

\[ 96 = 32 x 3 = 2^5 x 3 \]

Теперь подставим и раскроем логарифмы:

\[ \log_2 (2^6 x 3) = \log_2 2^6 + \log_2 3 = 6 + \log_2 3 \]

\[ \log_2 (2^2 x 3) = \log_2 2^2 + \log_2 3 = 2 + \log_2 3 \]

\[ \log_2 (2^3 x 3) = \log_2 2^3 + \log_2 3 = 3 + \log_2 3 \]

\[ \log_2 (2^5 x 3) = \log_2 2^5 + \log_2 3 = 5 + \log_2 3 \]

Подставим полученные значения в исходное выражение:

\[ (6 + \log_2 3)(2 + \log_2 3) - (3 + \log_2 3)(5 + \log_2 3) \]

Пусть \( x = \log_2 3 \).

\[ (6+x)(2+x) - (3+x)(5+x) = (12 + 6x + 2x + x^2) - (15 + 3x + 5x + x^2) \]

\[ = (12 + 8x + x^2) - (15 + 8x + x^2) \]

\[ = 12 + 8x + x^2 - 15 - 8x - x^2 = 12 - 15 = -3 \]

Ответ: -3.