Задание 5. Решить уравнение \(\log\)_5 x = 2\(\log\)_5 3 + 4\(\log\)_{25} 2

Задание 5. Решить уравнение

\( \log_5 x = 2\log_5 3 + 4\log_{25} 2 \)

Приведем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 5. Воспользуемся формулой смены основания: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \). Следовательно, \( \log_{25} 2 = \frac{\log_5 2}{\log_5 25} = \frac{\log_5 2}{2} \).

Подставим это в уравнение:

\[ \log_5 x = 2\log_5 3 + 4 x \frac{\log_5 2}{2} \]

\[ \log_5 x = 2\log_5 3 + 2\log_5 2 \]

Используем свойства логарифмов \( n x \log_a b = \log_a b^n \) и \( \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \):

\[ \log_5 x = \log_5 3^2 + \log_5 2^2 \]

\[ \log_5 x = \log_5 9 + \log_5 4 \]

\[ \log_5 x = \log_5 (9 x 4) \]

\[ \log_5 x = \log_5 36 \]

Так как основания логарифмов равны, то равны и их аргументы:

\[ x = 36 \]

Проверим область допустимых значений: \( x > 0 \). \( 36 > 0 \), значит, решение подходит.

Ответ: 36.