Задание №4. Выполните действия над комплексными числами: z₁=8+2i, z₂=-6-i

Решение:

Даны комплексные числа: \( z_1 = 8 + 2i \) и \( z_2 = -6 - i \).

а) \( z = z_1 + z_2 \)

• \( z = (8 + 2i) + (-6 - i) \)
• \( z = 8 + 2i - 6 - i \)
• \( z = (8 - 6) + (2 - 1)i \)
• \( z = 2 + i \)

б) \( z = z_2 - z_1 \)

• \( z = (-6 - i) - (8 + 2i) \)
• \( z = -6 - i - 8 - 2i \)
• \( z = (-6 - 8) + (-1 - 2)i \)
• \( z = -14 - 3i \)

в) \( z = z_2 * z_1 \)

• \( z = (-6 - i) * (8 + 2i) \)
• \( z = -6 \cdot 8 + (-6) \cdot 2i - i \cdot 8 - i \cdot 2i \)
• \( z = -48 - 12i - 8i - 2i^2 \)
• \( z = -48 - 20i - 2(-1) \) (так как \( i^2 = -1 \))
• \( z = -48 - 20i + 2 \)
• \( z = -46 - 20i \)

г) \( z = \frac{z_2}{z_1} \)

• \( z = \frac{-6 - i}{8 + 2i} \)
• Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число (\( 8 - 2i \)):
• \( z = \frac{(-6 - i)(8 - 2i)}{(8 + 2i)(8 - 2i)} \)
• \( z = \frac{-48 + 12i - 8i + 2i^2}{8^2 - (2i)^2} \)
• \( z = \frac{-48 + 4i + 2(-1)}{64 - 4i^2} \)
• \( z = \frac{-48 + 4i - 2}{64 - 4(-1)} \)
• \( z = \frac{-50 + 4i}{64 + 4} \)
• \( z = \frac{-50 + 4i}{68} \)
• \( z = \frac{-50}{68} + \frac{4}{68}i \)
• \( z = -\frac{25}{34} + \frac{1}{17}i \)

Ответ: а) \( 2 + i \); б) \( -14 - 3i \); в) \( -46 - 20i \); г) \( -\frac{25}{34} + \frac{1}{17}i \).