Задание 4. Задано выражение y(3y^2 - y) + (24y^5)/(6y^3) - (y - 4)^2 - 3y^3. а) Приведите выражение к многочлену стандартного вида. б) Докажите, что полученный многочлен делится на 2. в) Найдите наименьшее значение многочлена.

Решение:

а) Приведение к стандартному виду:

• Раскроем скобки и упростим каждое слагаемое:
• \( y(3y^2 - y) = 3y^3 - y^2 \)
• \( \frac{24y^5}{6y^3} = 4y^{5-3} = 4y^2 \)
• \( (y - 4)^2 = y^2 - 8y + 16 \)
• Теперь подставим все обратно в исходное выражение:
• \( (3y^3 - y^2) + 4y^2 - (y^2 - 8y + 16) - 3y^3 \)
• Раскроем скобки (меняя знаки внутри вторых скобок):
• \( 3y^3 - y^2 + 4y^2 - y^2 + 8y - 16 - 3y^3 \)
• Сгруппируем подобные члены:
• \( (3y^3 - 3y^3) + (-y^2 + 4y^2 - y^2) + 8y - 16 \)
• Выполним сложение и вычитание:
• \( 0y^3 + 2y^2 + 8y - 16 \)
• Упрощенное выражение: \( 2y^2 + 8y - 16 \)

б) Доказательство делимости на 2:

• Вынесем общий множитель 2 из многочлена: \( 2(y^2 + 4y - 8) \)
• Так как многочлен представлен в виде произведения числа 2 и другого выражения \( (y^2 + 4y - 8) \), то он делится на 2 без остатка.

в) Нахождение наименьшего значения:

• Полученный многочлен \( 2y^2 + 8y - 16 \) является квадратичной функцией вида \( ay^2 + by + c \), где \( a=2 \), \( b=8 \), \( c=-16 \).
• Так как коэффициент \( a=2 \) больше нуля, график параболы направлен вверх, и функция имеет наименьшее значение в вершине.
• Координата вершины по оси y находится по формуле \( y_в = -\frac{b}{2a} \).
• \( y_в = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -\frac{8}{4} = -2 \)
• Теперь найдем наименьшее значение функции, подставив \( y_в = -2 \) в многочлен:
• \( 2(-2)^2 + 8(-2) - 16 \)
• \( 2(4) - 16 - 16 \)
• \( 8 - 16 - 16 \)
• \( 8 - 32 = -24 \)

Ответ: а) 2y^2 + 8y - 16, б) Многочлен делится на 2, так как его можно представить как 2(y^2 + 4y - 8), в) -24