Задание 5. Мяч опустили с некоторой высоты. Он падает вертикально вниз, затем отскакивает вверх на треть своей предыдущей высоты, снова падает вниз, опять отскакивает на треть и так далее. Когда мяч коснулся земли в четвёртый раз, он пролетел суммарно 106 метров. а) С какой высоты его отпустили? Ответ выразите в метрах. б) После какого по счёту отскока от земли высота подъёма окажется меньше одного метра?

а) Пусть начальная высота равна h метров. До первого касания земли мяч проходит h метров. Затем до второго, третьего и четвёртого касаний он проходит соответственно по два пути, равных высотам отскока: 2h/3, 2h/9 и 2h/27.

Составим уравнение для общего пути: h + 2h/3 + 2h/9 + 2h/27 = 106.

Приводим подобные слагаемые: 53h/27 = 106, поэтому h = 106 · 27/53 = 54.

б) После k-го касания земли высота следующего отскока равна 54/3^k метров. Для четвёртого отскока это 54/81 = 2/3 м, что меньше 1 м. После третьего отскока высота равна 54/27 = 2 м, поэтому впервые меньше метра становится после четвёртого касания.

Ответ: а) 54 м; б) после четвёртого отскока.