Задание 6. Известно, что произведение всех цифр натурального числа n, не содержащего в своей десятичной записи единиц, равно 252. а) Найдите наибольшее возможное значение n. б) Найдите наименьшее возможное значение n.

а) Разложим произведение на простые множители: \(252=2^2\cdot3^2\cdot7\). Чтобы получить наибольшее число, нужно иметь как можно больше цифр: разложить произведение на отдельные цифры \(2,2,3,3,7\). Их наибольший порядок — 7, 3, 3, 2, 2. Получаем число 73322. Объединение любых множителей в одну цифру уменьшит количество цифр и не даст большего числа.

б) Двух цифр недостаточно, так как их произведение не может превышать \(9\cdot9=81\). Для трёх цифр возможны, в частности, наборы множителей \(4,7,9\) и \(6,6,7\), дающие числа 479 и 667. Меньшее из них — 479. Две цифры 2 в разложении 252 должны вместе входить в одну цифру 4, а множитель 7 и два множителя 3 можно объединить в 9 и 7; это даёт минимальный допустимый трёхзначный вариант.

Ответ: а) 73322; б) 479.