Задание 5: На рисунке PN=NT, PK – биссектриса угла MPT, ∠NPT=70°, ∠PKM=55°. Докажите, что прямые PT и MK параллельны. Найдите угол АРКТ.

Так как PN=NT, то треугольник NPT равнобедренный, и углы при основании равны. Тогда угол NTP = углу NPT = 70 градусам. Угол PTN = 180 - 70 - 70 = 40 градусов. Так как PK биссектриса угла MPT, то угол KPT= 70/2=35 градусов. Сумма углов треугольника PKM должна быть 180 градусов. Тогда угол PMK = 180 - 55 - 35 - X (x - это искомый угол PKT) = 180- 90 - x= 90-x, но угол PTN=40, значит угол PMK = 180-55-110=15. PT и MK параллельны, если соответственные углы равны или внутренние накрест лежащие равны. Угол PKM=55, тогда если PT параллельна MK, то угол KTP=55, но 180-70-70=40, что не равно 55. Значит, нужно доказать, что углы NPT+TPM=180, так как это 2 смежных угла. Значит, углы NPT и KPM должны быть равны или в сумме давать 180 градусов. Угол NPT = 70, значит угол TPM =110. PK - биссектриса, значит, угол KPT = 55 градусов. Угол NPT=70, PNT=70, NTP=40. PK - биссектриса, значит, угол MPT=2*35=70. Угол PKM=55, значит, угол TPK=35. тогда в треугольнике PTM: 70+55+PTM=180, PTM=180-125=55. Для того, чтобы PT и MK были параллельны, углы PTM и PMK должны быть равны. Т.е. 55 = 55. ЧТД. Значит, PT и MK параллельны. Угол PKT = углу PKM = 55 градусов. Угол RPK=180 -90-55=35. Угол RPT= 35. Тогда в треугольнике PRT : 35 + 55+ R= 180, R= 90. Значит угол PKT=55, тогда угол PKT равен 55 градусам. Угол MTP= 55. ∠РКТ= ∠PKM+∠MKT=55+180-70-55=55+55=110. Угол РКТ равен 110 градусам (180-70).