Задание 5. Прямая касается окружности с центром О в точке D. На касательной по разные стороны отметили точки Е и F, такие, что ∠OED = ∠OFD. Найдите ∠FOD, если ∠EOD = 58°.

Решение:

По условию, прямая касается окружности в точке D. Значит, OD является радиусом и перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle ODE = \angle ODF = 90° \).

В треугольнике OED:

• \( \angle ODE = 90° \)
• \( \angle EOD = 58° \)

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

\[ \angle OED = 180° - 90° - 58° = 32° \]

По условию \( \angle OED = \angle OFD \), значит \( \angle OFD = 32° \).

В треугольнике OFD:

• \( \angle ODF = 90° \)
• \( \angle OFD = 32° \)

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

\[ \angle FOD = 180° - 90° - 32° = 58° \]

Ответ: 58°