Задание 5. Решите неравенства: а) $1-\log_2(x-2)\ge\log_2(x-3)+\lg1$; б) $\log_{2/7}(x-1)-\log_{2/7}2\le-\log_{2/7}(4-x)$; в) $\log_{\sqrt2}(6-x)>0,25\cdot\log_{\sqrt[8]2}2-\log_{\sqrt2}4$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 5. Решите неравенства: а) $1-\log_2(x-2)\ge\log_2(x-3)+\lg1$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Область определения: $x>3$. Так как $\lg1=0$ и $1=\log_2 2$, неравенство принимает вид $\log_2\frac{2}{x-2}\ge\log_2(x-3)$. Основание больше 1, поэтому $\frac{2}{x-2}\ge x-3$. При $x>3$ умножаем на положительное $x-2$: $2\ge(x-2)(x-3)$, то есть $x^2-5x+4\le0$. Отсюда $x\in[1;4]$; с учётом области определения получаем $x\in(3;4]$.
Ответ: $x\in(3;4]$.
б) Область определения: $10$, это равносильно $(x-1)(4-x)\ge2$, или $x^2-5x+6\le0$. Получаем $x\in[2;3]$, что удовлетворяет области определения.
Ответ: $x\in[2;3]$.
в) $\log_{\sqrt[8]2}2=8$, а $\log_{\sqrt2}4=4$. Поэтому неравенство равносильно $\log_{\sqrt2}(6-x)>6$. Область определения: $x<6$. Основание $\sqrt2>1$, значит, $6-x>(\sqrt2)^6=8$, откуда $x<-2$.
Ответ: $x\in(-\infty;-2)$.

Задание 5. Решите неравенства: а) \(1-\log_2(x-2)\ge\log_2(x-3)+\lg1\); б) \(\log_{2/7}(x-1)-\log_{2/7}2\le-\log_{2/7}(4-x)\); в) \(\log_{\sqrt2}(6-x)>0,25\cdot\log_{\sqrt[8]2}2-\log_{\sqrt2}4\).