Задание 5. Решите неравенства: а) $1-\log_2(x-2)\geq\log_2(x-3)+\lg1$; б) $\log_{2/7}(x-1)-\log_{2/7}2\leq-\log_{2/7}(4-x)$; в) $\log_{\sqrt2}(6-x)>0.25\log_{\sqrt[8]{2}}2-\log_{\sqrt2}4$; г) $9^{0.25\log_{\sqrt3}(6x+5)}+x^2\leq12\log_2 e$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 5. Решите неравенства: а) $1-\log_2(x-2)\geq\log_2(x-3)+\lg1$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Область определения: $x>3$. Так как $\lg1=0$ и $1=\log_2 2$, получаем $\log_2\frac{2}{x-2}\geq\log_2(x-3)$. Основание больше 1, поэтому $\frac{2}{x-2}\geq x-3$. При умножении на положительный $x-2$: $2\geq(x-2)(x-3)$, или $(x-1)(x-4)\leq0$. Пересечение с областью определения: \(3
б) Область определения: \(1
в) $\log_{\sqrt[8]{2}}2=8$, поэтому правая часть равна $2-4=-2$. Область определения: $x<6$. Поскольку $\sqrt2>1$, неравенство равносильно $6-x>(\sqrt2)^{-2}=\frac12$. Следовательно, $x<\frac{11}{2}$, что уже удовлетворяет области определения.
г) Область определения: $6x+5>0$, то есть $x>-\frac56$. Используем $\log_{\sqrt3}y=2\log_3y$: $9^{0.25\log_{\sqrt3}(6x+5)}=9^{0.5\log_3(6x+5)}=6x+5$. Тогда $x^2+6x+5\leq12\log_2 e$, или $x^2+6x+5-12\log_2 e\leq0$. Корни соответствующего квадратного трёхчлена: $x=-3\pm\sqrt{4+12\log_2 e}$. Поскольку коэффициент при $x^2$ положительный, решение лежит между корнями; после учёта области определения остаётся \(-\frac56

Ответ: а) $(3;4]$; б) $[2;3]$; в) $( -\infty;\frac{11}{2})$; г) $(-\frac56;-3+\sqrt{4+12\log_2 e}]$.

Задание 5. Решите неравенства: а) \(1-\log_2(x-2)\geq\log_2(x-3)+\lg1\); б) \(\log_{2/7}(x-1)-\log_{2/7}2\leq-\log_{2/7}(4-x)\); в) \(\log_{\sqrt2}(6-x)>0.25\log_{\sqrt[8]{2}}2-\log_{\sqrt2}4\); г) \(9^{0.25\log_{\sqrt3}(6x+5)}+x^2\leq12\log_2 e\).