Задание 5. Решите задачу, выполнив чертёж: В равнобедренной трапеции ABCD (AD ∥ BC) высота CH и диагональ AC образуют угол 30°. Найдите диагональ AC, если BC = 12 и AH : HD = 3 : 1.

Пусть H — основание высоты CH на AD. Так как CH перпендикулярна AD, а угол между CH и AC равен 30°, треугольник AHC прямоугольный, причём ∠CAH = 60°.

В равнобедренной трапеции горизонтальные отступы у оснований равны. Обозначим каждый из них через x. Тогда AH = BC + x, а HD = x. Из AH : HD = 3 : 1 получаем (12 + x) : x = 3 : 1.

12 + x = 3x, поэтому x = 6 и AH = 18.

В прямоугольном треугольнике AHC: cos 60° = AH / AC. Следовательно, AC = 18 / cos 60° = 18 / 0.5 = 36.

Ответ: AC = 36.