Задание 5. Задача на составление уравнения. Из города А в город В, расстояние между которыми 240 км, выехал велосипедист. Через 3 часа вслед за ним выехал мотоциклист, скорость которого на 30 км/ч больше скорости велосипедиста. Мотоциклист прибыл в город В одновременно с велосипедистом. Найдите скорость велосипедиста.

Пусть \(x\) км/ч — скорость велосипедиста; тогда скорость мотоциклиста равна \(x+30\) км/ч. Время велосипедиста в пути — \(\frac{240}{x}\) ч, а мотоциклиста — \(\frac{240}{x+30}\) ч. Велосипедист ехал на 3 часа дольше.

Составим уравнение: \(\frac{240}{x}-\frac{240}{x+30}=3\), где \(x>0\).

Умножим на \(x(x+30)\): \(240(x+30)-240x=3x(x+30)\).

Получаем \(7200=3x^2+90x\), или \(x^2+30x-2400=0\).

Разложим: \((x-40)(x+60)=0\). С учётом условия \(x>0\), подходит \(x=40\).

Проверка: велосипедист затратит \(240/40=6\) ч, мотоциклист — \(240/70=24/7\) ч; разница составляет \(18/7\) ч, а не 3 часа. Следовательно, здесь обнаруживается несоответствие: разложение выше неверно. Правильно решим квадратное уравнение по дискриминанту: \(D=30^2+4\cdot2400=10500\), поэтому \(x=\frac{-30+\sqrt{10500}}{2}=5\sqrt{105}-15\) (второй корень отрицательный).

Проверка: из уравнения \(\frac{240}{x}-\frac{240}{x+30}=3\) следует, что разница времён равна 3 часам.

Ответ: скорость велосипедиста \(5\sqrt{105}-15\) км/ч (примерно 36.25 км/ч).