ЗАДАНИЕ №5 В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AH - высота и sin(∠BAC) = 0,35. Найдите cos(∠HAB).

Дано: треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), AH — высота, sin(∠BAC) = 0.35. Нужно найти cos(∠HAB). В равнобедренном треугольнике высота AH является также медианой и биссектрисой угла BAC. Это значит, что ∠HAB = 1/2 * ∠BAC. Угол HAB является одним из острых углов в прямоугольном треугольнике AHB, где угол AHB равен 90 градусам. Поэтому ∠BAC/2 + ∠HAB + 90 = 180. Следовательно, ∠HAB = 90 - ∠BAC/2. Зная синус угла ∠BAC, мы можем найти его косинус используя основное тригонометрическое тождество: sin²(α) + cos²(α) = 1 cos²(∠BAC) = 1 - sin²(∠BAC) cos²(∠BAC) = 1 - 0.35² = 1 - 0.1225 = 0.8775 cos(∠BAC) = sqrt(0.8775) = 0.9367 (округлим до 4 знаков) Далее, для того, чтобы найти косинус половинного угла (∠HAB), применим формулу \(cos(\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + cos(x)}{2}}\) \(cos(\angle HAB) = \sqrt{\frac{1 + 0.9367}{2}} = \sqrt{\frac{1.9367}{2}} = \sqrt{0.96835} = 0.9840 Или же мы можем использовать тот факт, что если AH - высота, то ∠HAB = 90 - ∠ABH ∠ABH = ∠BAC по свойству равнобедренного треугольника ∠HAB = 90 - ∠BAC Используя формулы приведения cos(∠HAB) = cos(90 - ∠BAC/2) = sin(∠BAC/2) Теперь найдем sin(∠BAC/2). Известно, что \( sin^2(x/2) = \frac{1-cos(x)}{2} \). Тогда \(sin(\frac{\angle BAC}{2}) = \sqrt{\frac{1-0.9367}{2}} = \sqrt{\frac{0.0633}{2}} = \sqrt{0.03165} = 0.1779\) И, наконец, косинус угла ∠HAB равен: \(cos(\angle HAB) = \sqrt{1-sin^2(∠HAB)} = \sqrt{1 - 0.1779^2} = \sqrt{1 - 0.03164} = \sqrt{0.96836} = 0.9840\) Ответ: 0.9840 (округлим до четырех знаков)