Задание 6. Даны два квадрата ABCD и AEFD (рис. 6). На диагонали AC выбрали точку M так, что ME = AC. Найдите угол AEM.

Пусть сторона квадрата ABCD равна a. Введём координаты: A(0, 0), D(a, 0), C(a, a), B(0, a). Поскольку AEFD — квадрат, расположенный по другую сторону от AD, имеем E(0, −a).

Из условия ME = AC = a√2, поэтому точка M лежит на окружности с центром E и радиусом a√2. Обозначим M=(t,t), так как M лежит на диагонали AC. Тогда:

\(EM^2=t^2+(t+a)^2=2a^2\), откуда \(2t^2+2at-a^2=0\). Решая уравнение, получаем \(t=\frac{a(\sqrt{3}-1)}{2}\) (второй корень отрицателен и не соответствует точке M на отрезке AC).

Векторы \(\overrightarrow{EA}=(0,a)\) и \(\overrightarrow{EM}=(t,t+a)\). Поэтому для угла θ=AEM:

\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{EM}}{|EA|\,|EM|}=\frac{t+a}{2a}=\frac{1+\sqrt{3}}{4}=\cos 30^\circ\).

Ответ: 30°.