Задание 9. В прямоугольнике ABCD известно, что угол ACD в пять раз больше угла ACB. Найдите расстояние от точки C до прямой BD, если AC = 24.

Обозначим \(\angle ACB=x\). Диагональ AC делит прямой угол C на углы ACB и ACD, поэтому \(x+5x=90^\circ\), откуда \(x=15^\circ\).

В прямоугольном треугольнике BCD гипотенуза \(BD=AC=24\), а \(\angle BCD=75^\circ\). Поэтому \(BC=24\cos75^\circ\), \(CD=24\sin75^\circ\).

Расстояние h от C до BD — высота к гипотенузе треугольника BCD. По равенству площадей:

\(h=\frac{BC\cdot CD}{BD}=24\sin75^\circ\cos75^\circ=12\sin150^\circ=6\).

Ответ: 6.