Задание 8. В квадрате ABCD отметили точку F — середину стороны BC. Из точки A опустили перпендикуляр AH на отрезок DF. Докажите, что BH = AD.

Обозначим сторону квадрата через a и зададим координаты: A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a). Тогда F — середина BC, значит, F(a, a/2).

Прямая DF имеет направляющий вектор \(\vec v=(a,-a/2)\). Проекция вектора \(\overrightarrow{DA}=(0,-a)\) на этот вектор задаёт положение H на DF:

\(H=D+t\vec v\), где \(t=\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\vec v}{\vec v\cdot\vec v}=\frac{a^2/2}{5a^2/4}=\frac25\).

Следовательно, \(H=(2a/5,4a/5)\). Тогда

\(BH=\sqrt{(a-2a/5)^2+(0-4a/5)^2}=\sqrt{9a^2/25+16a^2/25}=a\).

Так как \(AD=a\), получаем \(BH=AD\), что и требовалось доказать.