Задание 6. Найдите косинус угла M треугольника KCM, если K (1; 7), C (−2; 4), M (2; 0).

Угол \(M\) образован векторами \(\overrightarrow{MK}\) и \(\overrightarrow{MC}\):

\(\overrightarrow{MK}=(1-2;7-0)=(-1;7)\),

\(\overrightarrow{MC}=(-2-2;4-0)=(-4;4)\).

Используем формулу косинуса угла между векторами:

\(\cos M=\frac{\overrightarrow{MK}\cdot\overrightarrow{MC}}{|\overrightarrow{MK}|\cdot|\overrightarrow{MC}|}\).

Скалярное произведение:

\(\overrightarrow{MK}\cdot\overrightarrow{MC}=(-1)(-4)+7\cdot4=4+28=32\).

Длины векторов:

\(|\overrightarrow{MK}|=\sqrt{(-1)^2+7^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2\),

\(|\overrightarrow{MC}|=\sqrt{(-4)^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2\).

Тогда:

\(\cos M=\frac{32}{(5\sqrt2)(4\sqrt2)}=\frac{32}{40}=\frac45\).

Ответ: \(\cos M=\frac45\).