Задание 6. Вариант 1. Леонид и его бульдог Закусай вышли на прогулку. Леонид идёт со скоростью 5 км/ч по прямой дороге, удаляясь от дома. Когда Леонид отошёл на сто метров от дома, он спустил Закусая с поводка, и пёс помчался к дому со скоростью 10 км/ч. Прибежав к дому, Закусай тут же развернулся и побежал догонять Леонида, который по-прежнему шёл от дома со своей скоростью. Догнав Леонида, Закусай снова побежал к дому, а затем — снова к Леониду и т. д. На каком расстоянии от дома окажется Леонид, когда Закусай сделает пять пробежек до дома и обратно?

Считаем пятью пробежками до дома и обратно пять полных циклов «до дома — обратно к Леониду». Леонид движется со скоростью 5 км/ч, а Закусай — 10 км/ч.

1. Первая пробежка к дому: пёс проходит 100 м со скоростью 10 км/ч = 10000 м/ч. Время: 100 / 10000 = 0,01 ч. За это время Леонид проходит 5 км/ч · 0,01 ч = 50 м, оказываясь в 150 м от дома.
2. Пусть Леонид в начале пробежки к дому находится на расстоянии x от дома. Пёс добегает до дома за x / 10000 ч. Затем ему нужно догнать Леонида, удаляющегося от дома; относительная скорость сближения равна 10000 − 5000 = 5000 м/ч. Время погони после разворота равно (x + 5000 · x / 10000) / 5000 = 3x / 10000 ч. Полный цикл занимает 4x / 10000 ч.
3. За полный цикл расстояние Леонида от дома увеличивается на 5000 · 4x / 10000 = 2x, то есть удваивается. После первой пробежки к дому расстояние Леонида — 150 м; затем после каждого полного цикла оно удваивается.
4. После пяти циклов расстояние равно 150 · 2⁵ = 4800 м.

Ответ: 4800 м от дома.