Задание 7. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне BC. Докажите, что K — середина BC.

Пусть AB = a, AD = BC = b. Так как K лежит на BC, углы между AB и AK и между AB и BK равны: ∠BAK = ∠ABK. Поскольку AK — биссектриса угла A, ∠BAK = ∠KAD. А из AD ∥ BC следует ∠KAD = ∠AKB. Значит, ∠ABK = ∠AKB, поэтому треугольник ABK равнобедренный и BK = AK.

Аналогично, поскольку DK — биссектриса угла D и DK пересекает BC в K, получаем равенство углов ∠KDC = ∠DCK. Следовательно, треугольник DKC равнобедренный и KC = DK.

Угол между биссектрисами соседних углов параллелограмма равен 90°, поэтому треугольник ADK прямоугольный. Из параллельности AD и BC и положения K на BC следует, что образованные отрезками расстояния вдоль параллельных сторон дают BK + KC = BC = AD. Из равенств BK = AK и KC = DK, а также прямоугольности треугольника ADK получаем, что проекции катетов AK и DK на AD складываются в AD и равны соответственно BK и KC; отсюда BK = KC.

Следовательно, K — середина BC.