ЗАДАНИЕ №7: Найдите косинус угла между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\).

Сначала определим координаты точек A, B, C и D из графика. A(1, -1), B(4, 2), C(0, -2), D(-2, 2). Теперь найдем координаты векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\). \(\vec{AB} = (4 - 1, 2 - (-1)) = (3, 3)\) \(\vec{CD} = (-2 - 0, 2 - (-2)) = (-2, 4)\) Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: \(\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|}\) Найдем скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 3 \cdot (-2) + 3 \cdot 4 = -6 + 12 = 6\). Найдем длины векторов: \(|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) \(|\vec{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) Подставим все в формулу: \(\cos \alpha = \frac{6}{3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{6}{6\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}\) Косинус угла между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) равен \(\frac{\sqrt{10}}{10}\).