Задание 7. Найдите значение выражения: а) \(\sqrt{19-8\sqrt{3}}+\sqrt{19+8\sqrt{3}}\); б) \(\sqrt{38+12\sqrt{2}}-\sqrt{38-12\sqrt{2}}\); в) \(\sqrt{14+6\sqrt{5}}+\sqrt{14-6\sqrt{5}}\).

а) Замечаем, что \(19\pm8\sqrt{3}=(4\pm\sqrt{3})^2\). Тогда \(\sqrt{19-8\sqrt{3}}+\sqrt{19+8\sqrt{3}}=|4-\sqrt{3}|+|4+\sqrt{3}|=(4-\sqrt{3})+(4+\sqrt{3})=8\).

б) \(38\pm12\sqrt{2}=(6\pm\sqrt{2})^2\). Поэтому \(\sqrt{38+12\sqrt{2}}-\sqrt{38-12\sqrt{2}}=|6+\sqrt{2}|-|6-\sqrt{2}|=(6+\sqrt{2})-(6-\sqrt{2})=2\sqrt{2}\).

в) \(14\pm6\sqrt{5}=(3\pm\sqrt{5})^2\). Так как \(3>\sqrt{5}\), имеем \(\sqrt{14+6\sqrt{5}}+\sqrt{14-6\sqrt{5}}=|3+\sqrt{5}|+|3-\sqrt{5}|=(3+\sqrt{5})+(3-\sqrt{5})=6\).

Ответ: а) 8; б) \(2\sqrt{2}\); в) 6.