Задание 70. Найдите угол х, используя данные рисунка. A. 5)

Решение:

ST - касательная к окружности в точке T. OS - радиус. Следовательно, \(\angle OST = 90^\circ\).

Угол \(\angle RDT = 140^\circ\). Угол \(x\) является центральным углом \(\angle SOT\).

Рассмотрим треугольник SDR. \(\angle RDT = 140^\circ\). \(\angle STR\) - угол между касательной и хордой. \(\angle STR = \angle SRT\) (так как ST = TR - радиусы, нет, ST - касательная).

\(\angle RDT = 140^\circ\). \(\angle STD = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\) (развернутый угол).

Угол \(\angle SOT\) - центральный угол, опирающийся на дугу ST. Угол \(\angle SRT\) - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу.

\(\angle SRT = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\) (угол SRT - не вписанный).

\(\angle RDT = 140^\circ\). \(\angle SRT\) - вписанный угол, опирающийся на дугу ST. \(\angle SOT\) - центральный угол. \(\angle SRT = \angle SOT / 2\).

\(\angle RDT = 140^\circ\). \(\angle STR\) - угол между касательной ST и хордой TR. \(\angle SRT\) - вписанный угол.

\(\angle STR + \angle RDT = 180^\circ\) (сумма углов четырёхугольника STDR, если STDR - четырёхугольник, но это не так).

\(\angle RDT = 140^\circ\). \(\angle STR = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\) (смежный угол).

Угол \(x = \angle SOT\).

\(\angle SRT\) - вписанный угол, опирающийся на дугу ST. \(\angle SRT = \angle SOT / 2 = x / 2\).

В треугольнике STR, \(\angle STR = 40^\circ\). \(\angle SRT = x / 2\). \(\angle TSR = ?\).

Угол \(\angle RDT = 140^\circ\).

Угол \(\angle STR = 180 - 140 = 40^\circ\).

\(\angle SRT = \beta\).

\(x + 40 + \beta = 180 \rightarrow x + \beta = 140\).

\(\beta = x/2\).

\(x + x/2 = 140 \rightarrow 3x/2 = 140 \rightarrow 3x = 280 \rightarrow x = 280/3 \neq 60\).

Если \(\angle SOT = x\), тогда дуга ST = \(x\). Вписанный угол, опирающийся на дугу ST, равен \(x/2\). Угол \(\angle SRT = x/2\).

\(\angle STR\) - угол между касательной и хордой. \(\angle STR = \angle SRT = x/2\).

В треугольнике STR, \(\angle STR = 40^\circ\).

\(\angle STR\) = угол между касательной ST и хордой TR. \(\angle STR = \angle SRT\) (угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу).

\(\angle SRT = \beta\). \(\angle STR = \beta\).

\(\angle RDT = 140^\circ\). \(\angle STR = 180 - 140 = 40^\circ\). Значит \(\beta = 40^\circ\).

\(x/2 = 40^\circ \rightarrow x = 80^\circ\).

Ответ: 80°.