Задание 70. Найдите угол х, используя данные рисунка. A. 8)

Решение:

NK - диаметр. \(PK\) и \(PN\) - радиусы. \(\triangle PKN\) - равнобедренный. \(\triangle PNK\) - равнобедренный. \(\triangle PNL\) - прямоугольный.

Угол \(x\) - это \(\angle KPN\).

NK - диаметр. \(\angle NPK\) - центральный угол, опирающийся на полуокружность. \(\angle NPK = 180^\circ\).

Если NK - диаметр, то \(\angle NPK = 180^\circ\).

На рисунке NK - диаметр. P - центр. PK и PN - радиусы. \(\angle NKP = \angle KNP\).

PL - касательная к окружности в точке K. \(\angle PKL = 90^\circ\).

Угол \(x\) - это \(\angle KPN\). \(\angle KPN\) - это развернутый угол, если P, N, K лежат на одной прямой. Но P - центр, NK - диаметр.

\(x\) - это \(\angle KPN\). \(\angle PKN = α\). \(\angle KNP = α\).

\(2α + x = 180^\circ\).

PL - касательная. \(\angle PKL = 90^\circ\).

\(x = \angle KPN\).

\(\angle LKN\) - угол между касательной и хордой NK. \(\angle LKN = \angle KPN = x\) (по теореме об угле между касательной и хордой).

\(\angle LKN = 90^\circ\). Значит \(x = 90^\circ\).

Если \(x = 90^\circ\), тогда \(2α + 90^\circ = 180^\circ \rightarrow 2α = 90^\circ \rightarrow α = 45^\circ\).

Ответ: 90°.